Problem 27 の考察1 - regerege メモ帳

※はてなは結構バグるので文字が切れたり、タイトルにひっついたりします。

問題文の式
$n^2+n+41$ の範囲は $0\rightar39$ となる。
この式を式Aと定義する。

$n^2-79n+1601$ の範囲は $0\rightar79$ であることが分かっている。
この式を式Bと定義する。

ここで推測だが、式Aの $n$ の範囲は $-40{\leq}n{\leq}39$ ではないかと考える。

n	結果	素数判定結果
-41	1681	false
-40	1601	true
-39	1523	true
-38	1447	true
-37	1373	true
-36	1301	true
-35	1231	true
-34	1163	true
-33	1097	true
-32	1033	true
-31	971	true
-30	911	true
-29	853	true
-28	797	true
-27	743	true
-26	691	true
-25	641	true
-24	593	true
-23	547	true
-22	503	true
-21	461	true
-20	421	true
-19	383	true
-18	347	true
-17	313	true
-16	281	true
-15	251	true
-14	223	true
-13	197	true
-12	173	true
-11	151	true
-10	131	true
-9	113	true
-8	97	true
-7	83	true
-6	71	true
-5	61	true
-4	53	true
-3	47	true
-2	43	true
-1	41	true
0	41	true
1	43	true
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3	53	true
4	61	true
5	71	true
6	83	true
7	97	true
8	113	true
9	131	true
10	151	true
11	173	true
12	197	true
13	223	true
14	251	true
15	281	true
16	313	true
17	347	true
18	383	true
19	421	true
20	461	true
21	503	true
22	547	true
23	593	true
24	641	true
25	691	true
26	743	true
27	797	true
28	853	true
29	911	true
30	971	true
31	1033	true
32	1097	true
33	1163	true
34	1231	true
35	1301	true
36	1373	true
37	1447	true
38	1523	true
39	1601	true
40	1681	false

n	結果	素数判定結果
-1	41	true
0	41	true
1	43	true
2	47	true
3	53	true
4	61	true
5	71	true
6	83	true
7	97	true
8	113	true
9	131	true
10	151	true
11	173	true
12	197	true
13	223	true
14	251	true
15	281	true
16	313	true
17	347	true
18	383	true
19	421	true
20	461	true
21	503	true
22	547	true
23	593	true
24	641	true
25	691	true
26	743	true
27	797	true
28	853	true
29	911	true
30	971	true
31	1033	true
32	1097	true
33	1163	true
34	1231	true
35	1301	true
36	1373	true
37	1447	true
38	1523	true
39	1601	true
40	1681	false
41	1763	false
42	1847	true
43	1933	true
44	2021	false
45	2111	true
46	2203	true
47	2297	true
48	2393	true
49	2491	false
50	2591	true
51	2693	true
52	2797	true
53	2903	true
54	3011	true
55	3121	true
56	3233	false
57	3347	true
58	3463	true
59	3581	true
60	3701	true
61	3823	true
62	3947	true
63	4073	true
64	4201	true
65	4331	false
66	4463	true
67	4597	true
68	4733	true
69	4871	true
70	5011	true
71	5153	true
72	5297	true
73	5443	true
74	5591	true
75	5741	true
76	5893	false
77	6047	true
78	6203	true
79	6361	true
80	6521	true
81	6683	false

以上の結果より、式Aの範囲は $-40{\leq}n{\leq}39$ で正しいと確認できた。
また $n$ に対して $-40$ を行う事で、式Bと同じ $0{\leq}n{\leq}79$ になると考えられる。

【定理1】
式Aに対してを行う事により、式Bと同じ入力値で同じ結果になる。
つまりとなる。

(証明)
$(n-40)^2+(n-40)+41$
この式を展開する。
$\{n^2-80n+1600\}+(n-40)+41$
ここから $(n-40)$ と $41$ を組として考え、以下のように計算する。
$\frac{\;\;\;n^2\;-80n\;+1600 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\;-\;40 \\ +\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;41}{\;\;\;n^2\;-79n\;+1601}$
以上の結果より、 $(n-40)^2+(n-40)+41$ $=$ $n^2-79n+1601$ だということが分かった。

定理1により $n-x$ を行う事で、 $(-40+x){\leq}n{\leq}(79-x)$ の範囲を得られる事が分かった。
式に直すと $(n-x)^2+(n-x)+41$ となる。
この式を式Cとする。

問題文の式の $a$ と $b$ について考察する。
$n^2+an+b$
この式を式Dとする。

式Cを展開することにより $a$ と $b$ を計算するための式を得る事が出来る。
$n^2\;+\;(-2xn\;+n)\;+\;(x^2\;-x\;+41)$
この式から因数分解の公式より、以下の式が得られる。
$an\;=\;(-2xn\;+n)$
$b\;=\;(x^2\;-x\;+41)$