Problem 27 の考察のまとめ

■問題文に出てくる式
式A： $n^2+n+41$
式B： $n^2-79n+1601$
式D： $n^2+an+b$

考察1で定理と証明で求められた式
式C： $(n-x)^2+(n-x)+41$

■条件
${\mid}a{\mid}\;<\;1000$
${\mid}b{\mid}\;<\;1000$
$0\;{\leq}\;x\;{\leq}\;40$

■ $a$ , $b$ の求め方
式Cを展開した場合、以下のようになる。
$n^2\;+\;(-2xn+n)\;+\;(x^2-x+41) \\ \hspace{90}a\hspace{105}b$
上記式より、 $a$ , $b$ の求め方は以下の通りとなる。
$a\;=\;(-2x+1)$
$b\;=\;(x^2-x+41)$

■ $a$ , $b$ の最大値と最小値
最小値と最大値は式Aと式Bの間と考えられる為、以下の範囲に狭められる。
$-79\;<\;(-2x+1)\;<\;1$
$41\;<\;(x^2-x+41)\;<\;1601$
Bの最大値は問題文より大きいため以下のように置き換える。
$41\;<\;(x^2-x+41)\;<\;1000$

問題文より $b$ の最大値を置き換えた為、 $b$ の最大値についての不等式を考える。

■ $b$ の境界値を考える（不等式）
$x^2-x+41\;<\;1000$
この不等式を以下の式のように考える。
$x^2-x+41=y$ とする。
境界値1000、つまり $y$ が1000の場合の $x$ の値を調べます。

$x^2-x+41=1000$ より
$x^2-x+41-1000\;=\;1000-1000$ 両辺に-1000を行う。
$x^2-x-959=0$

解の公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より
$x\;=\;\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-(4\;*\;1\;*\;-959)}}{2\;*\;1}$
$x\;=\;\frac{1\pm\sqrt{1+3836}}{2}$
$x\;=\;\frac{1\pm\sqrt{3837}}{2}$

$x$ の最小値は0であるため、マイナスの解は計算せず、プラスの解を計算する。
$x\;=\;\frac{1+\sqrt{3837}}{2}$
これを計算すると $31.47176133$ となる。
$x$ は整数であるため、この結果より低い数値、つまり境界値である1000より低い数値は31となる。
$x$ に31を入れる事で、 $a$ , $b$ を求める事が出来る。

■ $a$ , $b$ を求める。
$a\;=\;-2*31+1\;=\;-61$
$b\;=\;31^2-31+41\;=\;971$

■プログラムとしての計算式
上記の結果により $a$ , $b$ の求め方が分かる。
尚、この式は $0\;{\leq}\;x\;{\leq}\;40$ である場合のみ有効である。
$x\;=\;\frac{1+\sqrt{1+(-4*(41-I))}}{2}$
上記の式より求めた $x$ を下の式に適用することで結果を得られる。
$a\;=\;(-2x+1)$
$b\;=\;(x^2-x+41)$

ちなみに、 $I$ に入力出来る値の範囲は $41{\leq}I{\leq}1601$ となる。

■数式の間違いについて
$x\;=\;\frac{1+\sqrt{1+(-4*(41-I))}}{2}$
この数式の結果が整数の場合は-1しなければならない。

$x\;=\;\frac{1+\sqrt{1+(-4*(41-I))}}{2}\;-\;0.000000000001$
を行って小数切り捨てでもいけるかも・・・？